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| Format: | Recurso digital |
| Language: | |
| Published: |
Zenodo
2025
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| Online Access: | https://doi.org/10.5281/zenodo.17674183 |
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Table of Contents:
- Resumo A análise topológica de dados (TDA) emergiu como um campo robusto para a extração de características estruturais em conjuntos de dados complexos e de alta dimensão. Neste contexto, a Teoria de Morse Discreta (DMT) oferece uma ponte fundamental entre a topologia clássica e a computacional. Originada da Teoria de Morse para variedades suaves, a DMT adapta seus princípios para espaços combinatórios, como complexos simpliciasi. Ao introduzir o conceito de funções de Morse discretas e campos de gradiente discretos, a DMT permite a simplificação de complexos combinatórios, reduzindo-os a complexos de células (CW-complexos) homotópica e homologicamente equivalentes, mas significativamente menores. Essa redução preserva as propriedades topológicas essenciais, como os números de Betti, tornando a computação homológica mais eficiente. A sinergia entre a DMT e a Homologia Persistente (PH) é particularmente potente. A DMT pode ser utilizada para construir filtragens mais eficientes ou para reduzir o tamanho dos complexos intermediários em uma filtragem, acelerando drasticamente o cálculo dos diagramas de persistência ou códigos de barras. Este artigo detalha os fundamentos teóricos da Teoria de Morse Discreta, explora suas definições e teoremas cruciais, e demonstra como sua aplicação conjunta com a Homologia Persistente oferece uma metodologia poderosa para a caracterização multiescala de invariantes topológicos em dados discretos, com implicações profundas para a interpretação e análise de estruturas complexas em diversas áreas da ciência e engenharia.