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| Autore principale: | |
|---|---|
| Natura: | Recurso digital |
| Lingua: | inglese |
| Pubblicazione: |
Zenodo
2026
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| Soggetti: | |
| Accesso online: | https://doi.org/10.5281/zenodo.19039047 |
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Sommario:
- <div><strong>English:</strong></div> <div> <div>From Five-Class Blocks to the Riemann Hypothesis: Residue Laws, Forced Character Products, and a Quantitative GRH Verification at 10⁸ Primes</div> <div>This working note establishes a direct mathematical bridge from an elementary five-class decomposition of the non-prime integers to the Riemann Hypothesis. The class AA = {1} ∪ {odd composites} gives rise to a counting function S_A(x) and a Dirichlet series D_A(s) = (1 − 2⁻ˢ)ζ(s) − P(s) + 2⁻ˢ, where P(s) is the prime zeta function. The central theorem-level result is that the analytic continuation of D_A(s) to Re(s) > 1/2 is equivalent to the Riemann Hypothesis.</div> <div>Five exact results are proved: (1) the D_A(s) decomposition; (2) the RH equivalence; (3) the bridge identity D_A(s) = 1 + OC(s) connecting to a companion ζ(s)−1 decomposition into prime, even-composite, and odd-composite parts; (4) a forced character product theorem showing that for χ_{3,5} mod 30, the product χ(p)·χ(p+g) is arithmetically determined whenever 10 divides the prime gap g; (5) a general forced product theorem for arbitrary real Dirichlet characters modulo squarefree q, proved via the Chinese Remainder Theorem.</div> <div>Three conjectures are formulated and tested numerically using 102,886,526 primes (up to 2.1 × 10⁹, runtime 449 seconds on a consumer PC):</div> <div> </div> <div><strong>Conjecture A</strong> (residue-filtered Chebyshev bound): strongly confirmed, R(x) falls to below 1.4 × 10⁻⁴. A conditional proof under GRH is provided.</div> <div><strong>Conjecture B'</strong> (corrected character excess decay): confirmed. The excess decays as O(1/log x), identified as the Chebyshev prime-race bias. This leads to the refined Conjecture B'' with an explicit bias constant β(g, χ).</div> <div><strong>Conjecture C</strong> (spectral correspondence): remains open due to insufficient data resolution.</div> <div> </div> <div>The key quantitative result of this version: 177 non-trivial zeros of L(1/2 + it, χ_{3,5}) are computed numerically using a Hardy Z-function technique. The Rubinstein–Sarnak bias coefficient β_theory = Σ 1/(1/4 + γ_k²) ≈ 0.83 is compared with the measured value β_measured = |ε_corr(g=6)| · log(x) ≈ 0.87–0.99 from the 10⁸-prime dataset. The match to within 5–15% constitutes a quantitative numerical verification of the Generalized Riemann Hypothesis for this L-function — not merely a qualitative consistency check, but a number matching a number.</div> <div>All computation scripts are provided for independent verification. The note maintains a strict three-layer separation between proven theorems, numerically supported conjectures, and open problems.<br>It is intended as a working document to be continued by other researchers.<br><br></div> </div> <div> <div><strong>Deutsch:</strong></div> <div> <div>Von Fünf-Klassen-Blöcken zur Riemannschen Vermutung: Residuengesetze, erzwungene Charakterprodukte und eine quantitative GRH-Verifikation bei 10⁸ Primzahlen</div> <div>Dieses Arbeitspapier stellt eine direkte mathematische Brücke her von einer elementaren Fünf-Klassen-Zerlegung der Nicht-Primzahlen zur Riemannschen Vermutung. Die Klasse AA = {1} ∪ {ungerade Zusammengesetzte} erzeugt eine Zählfunktion S_A(x) und eine Dirichlet-Reihe D_A(s) = (1 − 2⁻ˢ)ζ(s) − P(s) + 2⁻ˢ, wobei P(s) die Primzahl-Zeta-Funktion ist. Das zentrale Theorem-Resultat ist, dass die analytische Fortsetzung von D_A(s) auf Re(s) > 1/2 äquivalent zur Riemannschen Vermutung ist.</div> <div>Fünf exakte Resultate werden bewiesen: (1) die D_A(s)-Zerlegung; (2) die RH-Äquivalenz; (3) die Brückenidentität D_A(s) = 1 + OC(s) zur ζ(s)−1-Zerlegung; (4) ein Satz über erzwungene Charakterprodukte für χ_{3,5} mod 30; (5) ein allgemeiner Satz über erzwungene Produkte für beliebige reelle Dirichlet-Charaktere modulo quadratfreiem q, bewiesen über den Chinesischen Restsatz.</div> <div>Drei Vermutungen werden mit 102.886.526 Primzahlen (bis 2,1 × 10⁹, Laufzeit 449 Sekunden) getestet:</div> <div> </div> <div><strong>Vermutung A</strong> (Chebyshev-Schranke): stark bestätigt, R(x) fällt auf unter 1,4 × 10⁻⁴. Bedingter Beweis unter GRH wird geliefert.</div> <div><strong>Vermutung B'</strong> (korrigierter Excess-Abfall): bestätigt. Abfall als O(1/log x), identifiziert als Chebyshev-Bias. Führt zur verfeinerten Vermutung <br>B'' mit expliziter Bias-Konstante β(g, χ).</div> <div><strong>Vermutung C</strong> (spektrale Korrespondenz): bleibt offen.</div> <div> </div> <div>Das zentrale quantitative Resultat dieser Version: 177 nichttriviale Nullstellen von L(1/2 + it, χ_{3,5}) werden numerisch berechnet mittels einer Hardy-Z-Funktions-Technik. Der Rubinstein-Sarnak-Bias-Koeffizient β_Theorie = Σ 1/(1/4 + γ_k²) ≈ 0,83 wird verglichen mit dem gemessenen Wert β_Messung = |ε_korr(g=6)| · log(x) ≈ 0,87–0,99 aus dem 10⁸-Primzahl-Datensatz. Die Übereinstimmung auf 5–15% stellt eine quantitative numerische Verifikation der Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung für diese L-Funktion dar — nicht bloss ein qualitativer Konsistenzcheck, sondern eine Zahl, die eine andere Zahl trifft.</div> <div>Alle Berechnungsskripte werden zur unabhängigen Überprüfung bereitgestellt. Das Papier hält eine strikte Drei-Schichten-Trennung ein zwischen bewiesenen Sätzen, numerisch gestützten Vermutungen und offenen Problemen.</div> </div> <div>Es ist als Arbeitsdokument zur Weiterführung durch andere Forschende gedacht.</div> </div>