Saved in:
| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Preprint |
| Published: |
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://arxiv.org/abs/1907.04110 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| _version_ | 1866910996625358848 |
|---|---|
| author | Milla, Lorenz |
| author_facet | Milla, Lorenz |
| contents | This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $π$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $π$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. -- --
Dieses Paper besteht aus drei unabhängigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen benötigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $π$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $π$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus. |
| format | Preprint |
| id |
arxiv_https___arxiv_org_abs_1907_04110 |
| institution | arXiv |
| publishDate | 2019 |
| record_format | arxiv |
| spellingShingle | Easy Proof of Three Recursive $π$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $π$-Algorithmen Milla, Lorenz Number Theory This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $π$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $π$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. -- -- Dieses Paper besteht aus drei unabhängigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen benötigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $π$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $π$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus. |
| title | Easy Proof of Three Recursive $π$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $π$-Algorithmen |
| topic | Number Theory |
| url | https://arxiv.org/abs/1907.04110 |