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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Preprint |
| Published: |
2019
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| Subjects: | |
| Online Access: | https://arxiv.org/abs/1907.04110 |
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Table of Contents:
- This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $π$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $π$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. -- -- Dieses Paper besteht aus drei unabhängigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen benötigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $π$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $π$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.