Just another method for generating series of even powers of number Pi
Fuente:
arXiv
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Preprint |
| Published: |
2025
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| Subjects: | |
| Online Access: | |
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| _version_ | 1866910875908046848 |
|---|---|
| author | Schiessl, Alois |
| author_facet | Schiessl, Alois |
| contents | In our previous publication we have shown a method for calculating series of even powers of $π$ based on the product representation of the $sinc$ function. We refer the readers to [1] for more details. In this work we apply the method to the product representation of the $cosine$ function and and thereby derive nice series formulas for even powers of the number $π$, such as \[ \frac{1}{2\,!} \left(\fracπ{2}\right)^2 = \sum_{\ell_1=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2\,\ell_1-1\right)^2} \;;\quad \frac{1}{4\,!} \left(\fracπ{2}\right)^4 = \sum_{\ell_{2}=2}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_2-1\right)^2} \right)\;; \] \[ \frac{1}{6\,!}\left(\fracπ{2}\right)^6 =\sum_{\ell_{3}=3}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{2}=2}^{\ell_{3}-1} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2\cdot \left( 2\,\ell_2-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_3-1\right)^2} \right)\right) \] Many of these formulas do not seem to be widely known.
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In unserer früheren Publikationen haben wir ein Verfahren vorgestellt, das die Berechnung von Reihen für geradzahlige $π$-Potenzen unter Verwendung der $sinc$-Funktion ermöglicht. Wir verweisen die versierte Leserschaft auf \cite{AS} für nähere Details. In dieser Abhandlung wenden wir das Verfahren auf die Produktdarstellung der $cosinus$-Funktion an und erhalten weitere Reihendarstellungen für geradzahlige $π$-Potenzen. Die meisten der vorgestellten Reihen scheinen nicht so bekannt zu sein. |
| format | Preprint |
| id |
arxiv_https___arxiv_org_abs_2503_11422 |
| institution | arXiv |
| publishDate | 2025 |
| record_format | arxiv |
| spellingShingle | Just another method for generating series of even powers of number Pi Schiessl, Alois General Mathematics In our previous publication we have shown a method for calculating series of even powers of $π$ based on the product representation of the $sinc$ function. We refer the readers to [1] for more details. In this work we apply the method to the product representation of the $cosine$ function and and thereby derive nice series formulas for even powers of the number $π$, such as \[ \frac{1}{2\,!} \left(\fracπ{2}\right)^2 = \sum_{\ell_1=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2\,\ell_1-1\right)^2} \;;\quad \frac{1}{4\,!} \left(\fracπ{2}\right)^4 = \sum_{\ell_{2}=2}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_2-1\right)^2} \right)\;; \] \[ \frac{1}{6\,!}\left(\fracπ{2}\right)^6 =\sum_{\ell_{3}=3}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{2}=2}^{\ell_{3}-1} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2\cdot \left( 2\,\ell_2-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_3-1\right)^2} \right)\right) \] Many of these formulas do not seem to be widely known. -- In unserer früheren Publikationen haben wir ein Verfahren vorgestellt, das die Berechnung von Reihen für geradzahlige $π$-Potenzen unter Verwendung der $sinc$-Funktion ermöglicht. Wir verweisen die versierte Leserschaft auf \cite{AS} für nähere Details. In dieser Abhandlung wenden wir das Verfahren auf die Produktdarstellung der $cosinus$-Funktion an und erhalten weitere Reihendarstellungen für geradzahlige $π$-Potenzen. Die meisten der vorgestellten Reihen scheinen nicht so bekannt zu sein. |
| title | Just another method for generating series of even powers of number Pi |
| topic | General Mathematics |
| url | https://arxiv.org/abs/2503.11422 |