A root finding method with arbitrary order of convergence
Fuente:
arXiv
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| Autore principale: | |
|---|---|
| Natura: | Preprint |
| Pubblicazione: |
2026
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| _version_ | 1866918328495243264 |
|---|---|
| author | Schiessl, Alois |
| author_facet | Schiessl, Alois |
| contents | Let $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ and $M\in\mathbb{N}$. We consider the equation $t^M-a=0$, which is equivalent to $1-\frac{t^M}{a}=0\,.$ The real solution is $\sqrt[M]{a}$. In this publication, we present a method that enables the calculation of $\sqrt[M]{a}$ with arbitrary order of convergence using only polynomials. We define the fixed point function \[ F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] This is a polynomial of degree $\left(P\cdot M+1\right)$ with $\left(P+1\right)$ terms. The calculation of $\sqrt[M]{a}$ is thus reduced to a polynomial evaluation. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method.
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Es sei $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ und $M\in\mathbb{N}$. Vorgelegt ist die Gleichung $t^M-a=0$, die äquivalent zu $1-\frac{t^M}{a}=0$ ist. Die reelle Lösung hiervon ist $\sqrt[M]{a}$. In dieser Veröffentlichung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von $\sqrt[M]{a}$ mit beliebiger Konvergenzordnung ermöglicht und nur Polynome verwendet. Wir definieren die Fixpunktfunktion \[F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] Das ist ein Polynom vom Grad $\left(P\cdot M+1\right)$ mit $\left(P+1\right)$ Summanden. Anhand ausgewählter Beispiele von Wurzelberechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. |
| format | Preprint |
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arxiv_https___arxiv_org_abs_2601_22187 |
| institution | arXiv |
| publishDate | 2026 |
| record_format | arxiv |
| spellingShingle | A root finding method with arbitrary order of convergence Schiessl, Alois General Mathematics Let $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ and $M\in\mathbb{N}$. We consider the equation $t^M-a=0$, which is equivalent to $1-\frac{t^M}{a}=0\,.$ The real solution is $\sqrt[M]{a}$. In this publication, we present a method that enables the calculation of $\sqrt[M]{a}$ with arbitrary order of convergence using only polynomials. We define the fixed point function \[ F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] This is a polynomial of degree $\left(P\cdot M+1\right)$ with $\left(P+1\right)$ terms. The calculation of $\sqrt[M]{a}$ is thus reduced to a polynomial evaluation. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. -- Es sei $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ und $M\in\mathbb{N}$. Vorgelegt ist die Gleichung $t^M-a=0$, die äquivalent zu $1-\frac{t^M}{a}=0$ ist. Die reelle Lösung hiervon ist $\sqrt[M]{a}$. In dieser Veröffentlichung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von $\sqrt[M]{a}$ mit beliebiger Konvergenzordnung ermöglicht und nur Polynome verwendet. Wir definieren die Fixpunktfunktion \[F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] Das ist ein Polynom vom Grad $\left(P\cdot M+1\right)$ mit $\left(P+1\right)$ Summanden. Anhand ausgewählter Beispiele von Wurzelberechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. |
| title | A root finding method with arbitrary order of convergence |
| topic | General Mathematics |
| url | https://arxiv.org/abs/2601.22187 |