A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function
Fuente:
arXiv
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Preprint |
| Published: |
2026
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| Subjects: | |
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| _version_ | 1866911520779141120 |
|---|---|
| author | Schiessl, Alois |
| author_facet | Schiessl, Alois |
| contents | In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 19}\] |
| format | Preprint |
| id |
arxiv_https___arxiv_org_abs_2603_15680 |
| institution | arXiv |
| publishDate | 2026 |
| record_format | arxiv |
| spellingShingle | A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function Schiessl, Alois General Mathematics In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 19}\] |
| title | A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function |
| topic | General Mathematics |
| url | https://arxiv.org/abs/2603.15680 |