A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine
Fuente:
arXiv
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| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Preprint |
| Veröffentlicht: |
2026
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| _version_ | 1866918494823514112 |
|---|---|
| author | Schiessl, Alois |
| author_facet | Schiessl, Alois |
| contents | In this paper, we present a fixed point method for the arctangent based on sine and cosine. Let $t\in \mathbb{R}^{+}$ and $P\in \mathbb{N}$. We define: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)} \right)^{2\,k-1}.\] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $\arctan\left(t\right)$, the sequence \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $\arctan\left(t\right)$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational test we performed demonstrates the efficiency of the method. \selectlanguage{ngerman} \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung des arcustangens auf Basis von sinus und cosinus vor. Es sei $t\in \mathbb{R}^{+}$ und $P\in\mathbb{N}$. Wir definieren: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)}\right) ^{2\,k-1}.\] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $\arctan\left(t\right)$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $\arctan\left(t\right)$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand einer praktischen Berechnung von $\fracπ{4}$ zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 17}\] |
| format | Preprint |
| id |
arxiv_https___arxiv_org_abs_2605_06698 |
| institution | arXiv |
| publishDate | 2026 |
| record_format | arxiv |
| spellingShingle | A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine Schiessl, Alois General Mathematics In this paper, we present a fixed point method for the arctangent based on sine and cosine. Let $t\in \mathbb{R}^{+}$ and $P\in \mathbb{N}$. We define: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)} \right)^{2\,k-1}.\] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $\arctan\left(t\right)$, the sequence \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $\arctan\left(t\right)$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational test we performed demonstrates the efficiency of the method. \selectlanguage{ngerman} \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung des arcustangens auf Basis von sinus und cosinus vor. Es sei $t\in \mathbb{R}^{+}$ und $P\in\mathbb{N}$. Wir definieren: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)}\right) ^{2\,k-1}.\] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $\arctan\left(t\right)$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $\arctan\left(t\right)$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand einer praktischen Berechnung von $\fracπ{4}$ zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 17}\] |
| title | A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine |
| topic | General Mathematics |
| url | https://arxiv.org/abs/2605.06698 |